Một tập hợp các điểm trên một không gian Euclid được gọi là tập lồi nếu nó chứa các đoạn thẳng nối từng cặp điểm của nó. Bao lồi của một tập X {\displaystyle X} cho trước có thể được định nghĩa là[1]

1. Tập lồi nhỏ nhất chứa X {\displaystyle X}
2. Giao của tất cả các tập lồi chứa X {\displaystyle X}
3. Tập hợp tất cả tổ hợp lồi của các điểm trong X {\displaystyle X}
4. Hợp của tất cả đơn dạng với các đỉnh thuộc X {\displaystyle X} .

Với tập bị chặn trong mặt phẳng Euclid mà các điểm trong tập đó không tạo thành đường thẳng thì đường biên của bao lồi là đường cong Jordan với chu vi nhỏ nhất chứa X {\displaystyle X} . Có thể tưởng tượng rằng ta kéo dãn một dây đàn hồi để nó bao quanh toàn bộ tập S {\displaystyle S} rồi thả dây ra để nó co lại đến mức tối đa; khi đó, dây bao lại tập lồi của S {\displaystyle S} .[2] Cách hiểu này không thể mở rộng được ngay cho không gian nhiều chiều hơn: với một tập hợp hữu hạn các điểm trong không gian ba chiều, một lân cận của một cây bao trùm của các điểm này bao lại chúng với diện tích bề mặt nhỏ tùy ý và nhỏ hơn diện tích bề mặt của bao lồi.[3] Tuy nhiên, trong không gian nhiều chiều, một số dạng của bài toán vật cản về việc tìm một bề mặt năng lượng thấp nhất nằm trên một hình cho trước có thể có bao lồi là nghiệm của chúng.[4]

Với các đối tượng trong không gian ba chiều, định nghĩa đầu tiên phát biểu rằng bao lồi là vùng giới hạn lồi nhỏ nhất của các đối tượng đó. Định nghĩa qua giao của các tập lồi có thể được mở rộng cho hình học phi Euclid, và định nghĩa qua tổ hợp lồi có thể được mở rộng từ không gian Euclid sang không gian vectơ thực hoặc không gian afin bất kỳ; bao lồi cũng có thể được khái quát hóa theo một cách trừu tượng hơn sang matroid định hướng.[5]

Quan hệ giữa các định nghĩa

Định nghĩa đầu tiên không hiển nhiên đúng: vì sao phải tồn tại một tập lồi nhỏ nhất chứa X {\displaystyle X} với mọi X {\displaystyle X} ? Tuy nhiên, định nghĩa thứ hai (giao của tất cả các tập lồi chứa X {\displaystyle X} ) rất rõ ràng và chặt chẽ. Nó là tập con của mỗi tập lồi Y {\displaystyle Y} khác X {\displaystyle X} chứa X {\displaystyle X} , vì Y {\displaystyle Y} có trong các tập được giao. Do đó, nó chính là tập lồi nhỏ nhất chứa X {\displaystyle X} . Vì vậy, hai định nghĩa đầu tiên là tương đương nhau.[1]

Mỗi tập lồi chứa X {\displaystyle X} phải chứa tất cả tổ hợp lồi của các điểm trong X {\displaystyle X} (theo giả thiết rằng nó là tập lồi), nên tập hợp tất cả các tổ hợp lồi này có trong giao của tất cả các tập lồi chứa X {\displaystyle X} . Ngược lại, tập hợp tất cả các tổ hợp lồi cũng là một tập lồi chứa X {\displaystyle X} nên nó cũng chứa giao của tất cả các tập lồi chứa X {\displaystyle X} , và do đó định nghĩa thứ hai và thứ ba là hai định nghĩa tương đương.[6]

Thực tế, theo định lý Carathéodory, nếu X {\displaystyle X} là tập con của một không gian Euclid d {\displaystyle d} chiều, mỗi tổ hợp lồi của một số hữu hạn các điểm trong X {\displaystyle X} cũng là một tổ hợp lồi của nhiều nhất d + 1 {\displaystyle d+1} điểm trong X {\displaystyle X} . Tập hợp các tổ hợp lồi của một bộ gồm d + 1 {\displaystyle d+1} điểm là một đơn dạng; trong mặt phẳng nó là một tam giác và trong không gian ba chiều nó là một tứ diện. Vì vậy, mỗi tổ hợp lồi của các điểm trong X {\displaystyle X} đều thuộc một đơn dạng có các đỉnh thuộc X {\displaystyle X} , nên định nghĩa thứ ba và thứ tư là hai định nghĩa tương đương.[6]

Bao trên và bao dưới

Ở hai chiều, bao lồi đôi khi được chia thành hai phần là bao trên và bao dưới, kéo dài giữa các điểm ngoài cùng bên trái và bên phải của bao đó. Tổng quát hơn, đối với bao lồi trong bất kỳ không gian nhiều chiều nào, có thể chia đường biên của bao đó thành các điểm mặt trên (những điểm mà theo đó một tia hướng lên không giao với bao), điểm mặt dưới và điểm cực biên. Với bao ba chiều, các phần mặt trên và mặt dưới của đường biên tạo thành các đĩa tôpô.[7]